ප්‍රස්තූත (Proposition)

කිසියම් ප්‍රකාශයක් ප්‍රස්තූත වශයෙන් හදුන්වනු ලැබේ. "සෑම සත්වයෙකුට ම ආහාර අවශ්‍ය වේ", "සිව්පාවුන්ට පාද සතරක් ඇත" මෙවැනි ප්‍රකාශ ප්‍රස්තූත ලෙස දැක්විය හැක. ඡ්‍යාමිතියේ මෙවැනි ප්‍රස්තූත රාශියක් ඇතත් ඒවා කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය.

      

නිර්මාණ (Construction)

නිර්මාණයක් යනු යම්කිසි විශේෂ රූපයක් ඇදීමට අවශ්‍ය ප්‍රස්තූතයකි.

ප්‍රමේයය (Theorem)

හඳුන්වන ලඳ අර්ථ දැක්වීම්, සම්මත කරන ලඳ ප්‍රත්‍යක්ෂ හා උපග්‍රහණ පදනම් කරගෙන සත්‍ය බව තර්කානුකූලව ඔප්පු කළ හැකි ප්‍රස්තූත ප්‍රමේයය ලෙස හඳුන්වනු ලැබේ.

සෑම ප්‍රමේයයක් ම කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය. පළමු කොටස මේ මේ දේ තිබේ නම් යනුවෙන් කල්පිත දේ දැක්වෙන කොටසයි. එම කොටස කල්පිතය යනුවෙන් හැදින්වේ.දෙවන කොටස ඔප්පු කළ යුතු කොටසයි. එම කොටස නිගමනය ලෙස හැදින්වේ.

උදාහරණ :- 

සරල රේඛා දෙකක් එකිනෙක ඡේදනය විමෙන් සෑදෙන ප්‍රතිමුඛ කෝණ සමාන වේ.
         

කල්පිතය	නිගමනය
"සරල රේඛා දෙකක් එකිනෙක ඡේදනය වේ"	ප්‍රතිමුඛ කොණ සමාන වේ

විලෝමය (Converse)

කිසියම් ප්‍රමේයයක කල්පිතය නිගමනය වශයෙන් ද, නිගමනය කල්පිතය වශයෙන්ද ඇති ප්‍රස්තූත මුල් ප්‍රමේයයේ විලෝමය වශයෙන් හදුන්වනු ලැබේ. ඇතැම් ප්‍රමේයය වල විලෝමය සත්‍ය වන අතර ඇතැම් ප්‍රමේම්යය වල විලෝමය සත්‍ය නොවේ.

 උදාහරණ:-

ප්‍රමේයය - ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමාන නම් සමාන පාද වලට සම්මුඛ කෝණ සමාන වේ.

විලෝමය - ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් සමාන නම් සමාන කෝණ වලට සම්මුඛ පාද සමාන වේ.

මෙම විලෝමය සැම විටම සත්‍යය වේ.

ප්‍රමේයය - අංගසම ත්‍රිකෝණ වර්ගඵලයෙන් සමාන වේ.
විලෝමය - වර්ගඵලයෙන් සමාන ත්‍රිකෝණ අංගසම වේ.

මෙම විලෝමය සැම විටම සත්‍යය නොවේ.

සැම අවස්ථාවකට ම සත්‍යය වන විලෝමයන්ද ප්‍රමේයයන් ලෙස දක්වා ඇත.

උප ප්‍රමේයය:-

ප්‍රමේයයක් ඔප්පු කිරීමෙ දී නිතැතින් ම සාධනය වන ප්‍රස්තූත උප ප්‍රමේයය ලෙස හැදින්වේ.

උදාහරණ:-
ප්‍රමේයය - සරල රේඛාවක් මත තවත් සරල රේඛාවක් පිහිටීමෙන් සෑදෙන බද්ධ කෝණ දෙකේ ඓක්‍යය ඍජු කෝණ දෙකකි (180⁰).

උප ප්‍රමේයය - ලක්ෂ්‍යයක් වටා කෝණ වල ඓක්‍යය ඍජු කෝණ හතරකි (360⁰).

අනුමේය:-

අර්ථ දැක්වීම්, ප්‍රත්‍යක්ෂ, උපග්‍රහණ, ප්‍රමේයය, උප ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් තර්කානුකූලව ඔප්පු කරන ප්‍රස්තූත අනුමේයයන් ලෙස හැදින්වේ.

උපග්‍රහණ

උපග්‍රහණ ද ඔප්පු කිරීමකින් තොරව සත්ත්‍යයයි පිළිගන්නා සිද්ධාන්තය.

සත්ත්‍යයයි සම්මත කරගෙන ඇති සිද්ධානත කිහිපයක් පහත දැක්වේ.

• ඕනෑම ලක්ෂ්‍යක සිට වෙනත් ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකට සරල රේඛාවක් ඇඳිය හැකිය.

•  සරල රේඛාවක්, කැමති දුරකට සරල රේඛාව එල්ලේ දික්කල හැකිය.

• දීතිබෙන සරල රේඛා දෙකක් අතරින් කුඩා රේඛාවට සමාන කොටසක්  ලොකු රේඛාවෙන් කපා වෙන් කළ හැකිය.

• සරල රේඛාවක් සමච්ඡේදනය කළ හැකිය. එනම් සමාන කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය.

• දී තිබෙන සරල රේඛාවක පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක දී, එම සරල රේඛාවට ලම්භයක් ඇඳිය හැකි ය.

• දී තිබෙන සරල රේඛාවක පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක දී, දී තිබෙන කෝණයකට සමාන කෝණයක්, දී තිබෙන රේඛාව සමග සැදෙන සේ සරල රේඛාවක් ඇඳිය හැකි ය.

මේ උපග්‍රහණවලට ඇතැම් අවස්ථාවල දී කල්පිත නිර්මාණ යැයි කියනු ලැබේ.

මෙවැනි ඉතා සරල උපග්‍රහණ තවත් බොහෝ ඇත. මේවා නො කිව යුතු තරම් සරල දෑ බව ඔබට වැටහෙනු ඇත.

  මේ අයුරින් අර්ථ දැක්වීම්, සම්මත කර ගෙන ඇති ප්‍රත්‍යක්ෂ සහ උපග්‍රහණ ඡ්‍යාමිතියේ අත්තිවාරමයි.

මේවා පදනම් කර ගෙන ප්‍රස්තූත, නිර්මාණ, ප්‍රමේය, උප ප්‍රමේය , විලෝමය, අනුමේය හඳුන්වා දී ඇත.

ඉහත දැක්වෙන එක් එක් පදය පැහැදිලිව හඳුනා ගැනීම ඡ්‍යාමිතිය ඉගෙනීමේ දී ඉතා වැදගත් වේ.

ඉදිරියේදී මේ පිළිබඳව සරලව වටහා ගනිමු.

අර්ථ දැක්වීම්

1. ලක්ෂය

අර්ථ දැක්වීම‍:- රේඛාවක යාබද පෙදෙස් දෙකක් වෙන්කෙරෙන මායිම ලක්ෂ්‍යකි.

◌ ලක්ෂ්‍යයකට පිහිටිමක් ඇත. විශාලත්වයක් නැත.

2. රේඛාව

අර්ථ දැක්වීම‍:- පෘෂ්ඨයක් කොටස් දෙකකට වෙන් කෙරෙන මායිම රේඛාවකි.

◌  රේඛාවකට දිගක් ඇත. පළලක් නැත.

◌ සරල රේඛා හා වක්‍ර රේඛා යනුවෙන් රේඛා දෙවැදෑරුම් වේ.

› තල පෘෂ්ඨ දෙකක් හමුවීමෙන් සරල රේඛවක් ද, තල පෘෂ්ඨයක් හා වක්‍ර පෘෂ්ඨයක් හමුවීමෙන් වක්‍ර රේඛාවක් ද සෑදේ

3. සරල රේඛාව

› ඡ්‍යාමිතික සංකල්ප ගතික හා ස්ථිතික වශයෙන් ආකාර දෙකකින් විස්තර කළ හැකිය.

සරල රේඛාවක් 

◌ ගතික ලෙස නියත දිශාවක් ඔස්සේ ලක්ෂ්‍යයක් ගමන් මග ලෙසත්

◌ ස්තිතික සංකල්ප ඇසුරින් එකම දිශාවක් ඔස්සේ පිහිටන ලක්ෂය සමූහයක් ලෙස හෝ ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශා දෙකක් ඔස්සේ විහිදෙනලක්ෂය සමූහයක් ලෙස හෝ හැදින්විය හැක.

 

4. පෘෂ්ඨය

අර්ථ දැක්වීම‍:- අවකාශයේ යාබද පෙදෙස් දෙකක් වෙන් කෙරෙන මායිම පෘෂ්ඨයකි.

◌ පෘෂ්ඨයට වර්ගඵලයක් ඇත, ඝනකමක් නැත යනුවෙන් විස්තර කළ හැක.

◌ පෘෂ්ඨයක් ද්විමාන වන අතර ඝන වස්තුවක් ත්‍රිමාණ වේ.

◌ පෘෂ්ඨ වර්ග දෙකකට වෙන් කළ හැක.

           ¤ තල පෘෂ්ඨ                        ¤ වක්‍ර පෘෂ්ඨ  

› ඝනකයක සියලු පෘෂ්ඨ තල පෘෂ්ඨ වන අතර ගෝලයක සියලු පෘෂ්ඨ වක්‍ර පෘෂ්ථ වේ.

 

5. තලය 

අර්ථ දැක්වීම‍:- යම් පෘෂ්ඨයක ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන රේඛාව සම්පූර්ණයෙන්ම එම පෘෂ්ඨය මත පිහිටයි නම් එම පෘෂ්ඨය තලයකි.

◌ තලය යනු ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි. එම ලක්ෂ්‍ය සීමා රහිතව අදාල පෘෂ්ඨය ඔස්සේ විහිදේ.

◌ තලයකට තල පෘෂ්ඨයක් යැයි කියනු ලැබේ.

◌ තල ඡ්‍යාමිතියේ දී සලකා බලන ප්‍රස්තූත වලට අයත් ලක්ෂ්‍ය හා රේඛා එකම තලයක් පිහිටා ඇතැයි සැලකේ.

  

6. බහුඅස්‍රය

අර්ථ දැක්වීම‍:- සරල රේඛා ඛණ්ඩ තුනක් හෝ වැඩි ගණනකින් වටවූ සංවෘත තල රූපය බහුඅස්‍රරය ලෙස හැදින්වේ.

  

7. ත්‍රිකෝණය

අර්ථ දැක්වීම‍:- සරල රේඛා ඛණ්ඩ තුනකින් වටවූ සංවෘත තල රූපය ත්‍රිකෝණය ලෙස හැදින්වේ.

8. චතුරස්‍රය

අර්ථ දැක්වීම‍:- සරල රේඛා ඛණ්ඩ හතරකින් වටවූ සංවෘත තල රූපය චතුරස්‍රය ලෙස හැදින්වේ.

 › යම් රූපයක් චතුරස්‍රයක් වීම සඳහා තිබිය යුතු අවශ්‍යතා

• සරල රේඛා ඛණ්ඩ හතරක් තිබිය යුතුය.
• ශීර්ෂ හතරම එකම තලයක පිහිටිය යුතුය.
• සංවෘත විය යුතුය.

9. සමචතුරස්‍රය

අර්ථ දැක්වීම‍:- බද්ධ පාද දෙකක් සමාන ඍජුකෝණාස්‍රය සමචතුරස්‍රය ලෙස හැදින්වේ.

  

10. ඍජුකෝණාස්‍රය 

අර්ථ දැක්වීම‍:- එක් කෝණයක් ඍජු කෝණයක් වූ සමාන්තරාස්‍රය ඍජුකෝණාස්‍රය ලෙස හැදින්වේ.

     

11. රොම්බසය

අර්ථ දැක්වීම‍:- බද්ධ පාද යුගලයක් සමාන වූ සමාන්තරාස්‍රය රොම්බසය ලෙස හැදින්වේ.

   

12. රොම්බාභය

අර්ථ දැක්වීම‍:- එක් කෝණයක්  හෝ ඍජුකෝණ නොවන එක්බද්ධ පාද යුගලයක් හෝ සමාන නොවන සමාන්තරාස්‍රය රොම්බාභය ලෙස හැදින්වේ.

       

13. ත්‍රැපිසියම

අර්ථ දැක්වීම‍:- එක් සම්මුඛ පාද යුගලයක් පමණක් සමාන වූ සමාන්තරාස්‍රය ත්‍රැපීසියම ලෙස හැදින්වේ. 

  
ආදී වශයෙන් ඡ්‍යාමිතියේ යෙදෙන සෑම පදයක් සඳහා ම අර්ථ දැක්වීමක් දී ඇත.

යුක්ලීඩියානු ඡ්‍යාමිතියේ මූලික ලක්ෂණ

යුක්ලීඩියානු ඡ්‍යාමිතිය ගොඩනැගීමේ දී මූලික පදනම ලෙස 

• අර්ථ දැක්වීම් (Definition) 
• ප්‍රත්‍යක්ෂ හා උපග්‍රහන (Axiams and Postulates) යොදාගෙන ඇත.

අර්ථ දැක්වීම් (Definition)

ඡ්‍යාමිතිය ගොඩනැගීමේ දී භාවිතා වන පද සඳහා අර්ථ දැක්වීම් දී ඇත.

උදාහරණ

◊  ලක්ෂ්‍යය                          ◊   ත්‍රිකෝණය 
◊  රේඛාව                           ◊  චතුරස්‍රය
◊  සරල රේඛාව                    ◊  බහුඅස්‍රය 
◊  පෘෂ්ඨය                            ◊  සරල රේඛා  
◊  තලය                               ◊  ලම්භ රේඛා  
◊  කෝණය                          ◊  තීර්යක් රේඛා  

◊  ඍජු කෝණය                   ◊  තිරස් රේඛා 

◊  සුළු කෝණය                    ◊  සිරස් රේඛා  

◊  මහා කෝණය                  ◊  වෘත්තය                                
                                

ආදී වශයෙන් යෙදෙන සෑම පදයක් සඳහා ම අර්ථ දැක්වීමක් දී ඇත.

ප්‍රත්‍යක්ෂ

ඔප්පු කිරීමකින් තොරව නිතැතින් ම සත්‍යයැයි හැගෙන ප්‍රකාශ ප්‍රත්‍යක්ෂ ලෙස දැක්වේ. යුක්ලීඩිගේ Elements නැමති පොතේ ප්‍රත්‍යක්ෂ දක්වා ඇත

උදාහරණ

◊ එකම දේට සමාන රාශින් එකිනෙකට සමාන වේ.

    a = b  ද b = c ද නම් a = c වේ.

◊ සමානයන්ට සමානයන් එකතු කළ විට ලැබෙන රාශින් ද එකිනෙකට සමාන වේ.

   a = b  නම්  a+c = b+c වේ.

◊ සමානයන් ගෙන් සමානයන් අඩු කළ විට ලැබෙන රාශින් ද එකිනෙකට සමාන වේ.
   a = b  නම්  a-c = b-c වේ.

◊ සමානයන්ගේ ද්වි ගුණයද සමාන වේ.
   a = b  නම්  2a = 2b වේ.

◊ සමානයන්ගේ අර්ධයෝ ද සමාන වේ.
   a = b  නම් a÷2 = b÷2 වේ.

◊ පූර්ණය එහි කොටසකට වඩා විශාලය
   a >  a÷2 / a >  a÷3 / a >  a÷5 වේ.

◊ අසමානයන්ට සමානයන් එකතු කළ විට ලැබෙන රාශින් ද එකිනෙකට අසමාන වේ.
   a ≠ b  නම්  a+c ≠ b+c වේ.
   7 ≠ 5  නම්  7+3 ≠ 5+3 වේ.

◊ අසමානයන්ගෙගන් සමානයන් අඩු කළ විට ලැබෙන රාශින් ද එකිනෙකට අසමාන වේ.
   a ≠ b  නම්  a-c ≠ b-c වේ.
   7 ≠ 5  නම්  7-2 ≠ 5-2 වේ.
◊ එකිනෙක සමපාත කළ හැකි ප්‍රමාණ සමාන වේ.
◊ සරල රේඛා දෙකකින් අවකාශයේකොටසක් වෙන් කළ නොහැක.
◊ සියලුම ඍජුකෝණ සමාන වේ.
◊ එකිනෙක ජේදනය වන සරල රේඛා දෙකක් තවක් එකම රේඛාවකට සමාන්තර නොවේ.
යුක්ලීඩිගේ Elements නැමති පොතේ අධ්‍යනය කිරීමෙන් තවත් ප්‍රත්‍යක්ෂ හදුනාගත හැක.

උපග්‍රහණ

උපග්‍රහණ ද ඔප්පු කිරිමකින් තොරව සත්‍යයයි පිළිගැනෙන සිද්ධාන්ත වේ. එසේ යුක්ලීඩිගේ Elements නැමති පොතේ දැක්වෙන උපග්‍රහණ කිහිපයක් පහත දැක්වේ. මෙම උපග්‍රහණ සම්මත කරගෙන ඇත.

උදාහරණ
◊ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක සිට වෙනත් ඕනෑම ලක්ෂ්‍යකට සරල රේඛාවක් ඇදිය හැක.

◊ සරල රේඛාවක් ඕනෑම දුරකට සරල රේඛාව එල්ලේ දික් කළ හැක.

◊ දී තිබෙන සරල රේඛා දෙකක් අතරින්, කුඩා රේඛාවට සමාන ප්‍රමාණයක් විශාල රේඛාවෙන් කපා වෙන් කළ හැක.

◊ සරල රේඛාවක් සමච්ඡේදනය කළ හැකිය. එනම් සමාන කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය.

◊ දී තිබෙන සරල රේඛාවක පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකදී එම සරල රේඛාවට ලම්භයක් ඇදිය හැක.

◊ දී තිබෙන සරල රේඛාවක් මත පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක දී, දි තිබෙන කෝණයකට සමාන කෝණයක් එම සරල රේඛාව සමග සෑදෙන සේ සරල රේඛාවක් ඇදිය හැක.

 

* මෙම උපග්‍රහණවලට ඇතැම් අවස්ථා වලදී කල්පිත නිර්මාණ යැයි කියනු ලැබේ.

මෙවැනි උපග්‍රහන තවත් ඇත.

මේ අයුරින් හදුන්වා දී ඇති අර්ථදැන්වීම්, සම්මත කරගෙන ඇති ප්‍රත්‍යක්ෂ සහ උපග්‍රහණ ඡ්‍යාමිතියේ අත්තිවාරමයි. මේවා පදනම් කරගෙන නිර්මාණ, ප්‍රෙම්යය, උප ප්‍රෙම්යය, විලෝමය, අනුමේය හදුන්වා දී ඇත.

ඉහත දැක්වෙන එක් එක් පද පැහැදිලිව හදුනාගෙන තිබීම ඡ්‍යාමිතිය ඉගෙනීමේ දී ඉතා වැදගත් වේ.

ඡ්‍යාමිතිය විෂයයේ ස්වභාවය

 

     යුක්ලීඩියානු ඡ්‍යාමිතියේ දැකිය හැකි තර්කානුකූල ස්වභාවය, ගණිතයට ඡ්‍යාමිතිය ඇතුළත් වීමට බලපෑ ප්‍රධනතම හේතුවකි. තර්කානුකූල චින්තනය බුද්ධි වර්ධනයට හේතු වේ. ගණිතයේ සංඛ්‍යා, මිනුම්, වීජ ගණිතය, සමභාවිතාව, සංඛ්‍යානය වැනි තේමා වලට අවශ්‍ය තර්කානූකූල චින්තනය වර්ධනය වීමටත්, සමාන්‍ය පුද්ගලයෙකුගේ තර්කානූකූල චින්තනය වර්ධනය වීමටත්, ඡ්‍යාමිතිය හේතු වේ. ක්‍රමානුකූල සංසිද්ධි ගැලපීමෙන් එදිනෙදා ජීවිතයේ ගැටලු විසඳීමට අවශ්‍ය විනය හා තාර්කිකභාවය ක්‍රමයෙන් සිසුන් තුල වර්ධනය වේ. ලැබි ඇති දත්ත හදුනාගෙන එම දත්ත කවර ආකාරයකට යොදා අවශ්‍ය නිගමන වලට එළඹිය හැකි දැයි තීර්ණය කිරිමේ දක්ෂතාවය සිසුන්ට ලබාදීම ඡ්‍යාමිතිය ඉගැන්වීමේ අභිමතාර්ථයකි. ගැටළුවක් විවිධ දෘෂ්ඨි කෝණ වලින් බැලීමටත්, විග්‍රහ කිරීමටත් ඒ ගැටළුව ඇසුරින් නිගමන වලට එළඹීම සිදුවීමත් ගණිතයේ ඇති අනිකුත් තේමාවලට වඩා ඡ්‍යාමිතියේ දැකිය හැකි ලක්ෂණයකි. මේ ආකාරයට ඡ්‍යාමිතික කරුණු විධිමත්ව ඉගෙනීමෙන් පුද්ගලයාගේ සංවර්ධනය සිදුවන බැවින් සිසුන්ට ප්‍රීතිමත් ලෙස ඡ්‍යාමිතිය ඉගෙනීමට උදවු කිරීම ගුරුවරයාගේ කර්යයකි.

      ඡ්‍යාමිතියට ඇත් හුඹස් බියත්, ගුරුවරුන්ගේ සහ සිසුන්ගේ ඇති අඩු අවධනයත්, ගණිතයේ යෙදෙන අනිකුත් තේමා මෙන්ම අනිකුත් විෂය අවබෝධ කර ගැනීමේ ශක්‍යතාව අවරෝධනය කිරීමට බෙහෙවින් බලපා ඇත.

     අනාගතයට ගැලපෙන උගතුන් මෙන්ම බුද්ධිමතුන් රටට දායාද කිරීමට නම් ඡ්‍යාමිතික සංකල්ප සිසුන්ට නිවැරදිව නොඅඩුව ලබාදීම පිළිබඳව  පාසල් අධ්‍යාපනය තුළ වැඩි අවධනයක් යොමු කිරීම අත්‍යවශ්‍ය වේ.

ඡාමිතියේ ඉතිහාසය

ප්ලේටෝ       යුක්ලීඩ්

                                

                                     

     ක්‍රි.පූ. 325-256 කාලපරිච්ඡේදයේ ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියාවේ විසු දර්ශනිකයෙකු වූ "යුක්ලීඩ්", ප්ලේටෝගෙ ද  ශිෂ්‍යෙයකු ලෙස සඳහන් වේ. දැනට ගණිත විෂයය තුළ ඡ්‍යාමිතිය යටතේ භාවිතා වන බොහෝ කරුණු “යුක්ලීඩ්” නම් දාර්ශනිකයා විසින් වර්ධනය කරන ලද අදහස්ය. ඔහුට පෙර සිටි දාර්ශනිකයින්ගේ සොයාගැනීම් ද ඇතුලත් කර පොතක් ලෙස එළිදැක්වීමට ඔහු විසිනි කටයුතු කරන ලදි. "The Elements of geometry" නැමති ග්‍රන්තය ඔස්සේ බිහිවූ ඡ්‍යාමිතිය "යුක්ලීඩියානු ඡ්‍යාමිතිය" ලෙස ප්‍රචලිත විය.
ඡ්‍යාමිතිය විෂයය අන්තර්ගතය පිළිබඳ ඉතිහාසය සොයා බැලීමේදී

• ඊජිප්තු ඡ්‍යාමිතිය
• බැබිලෝනීයානු ඡ්‍යාමිතිය
• ග්‍රීක ඡ්‍යාමිතිය
• ඉන්දියානු ඡ්‍යාමිතිය
• චීන ඡ්‍යාමිතිය
• ඉස්ලාම් ඡ්‍යාමිතිය

      ආදී වශයෙන් අතිතයේදී යෙදීම් ඇති බව ට සාක්ෂි ඇත.  අප රටේ දැනට     භාවිතා වන්නේ යුක්ලීඩියානු ඡ්‍යාමිතිය සහ පසුව එකතු වී ඇති පරිණාමන ඡාමිතියට අයත් කොටස් ඇතුළත් විෂය කරුණු ය.